SOLUCIÓN (MODELO DE P.L EN FORMA DE ECUACIÓN)

Ejercicio:

Función objetivo:

Maximizar Z = X1 + X2

Sujeto a:

      X1 + 2X2 <= 6r5

     2X1 + X2 <= 16
      X1 ; X2 >= 0

Solución:

A continuación utilizando combinaciones podremos obtener el número de elementos que pondremos en nuestra tabla y así asegurarnos de que vamos por buen camino.

Cm;n = m! / n! (m-n)!

Donde: m = número de variables , n =número de 

restricciones.

          C4;2 = 4! / 2! (2!)

          C4;2 = 6

Una vez hallado podremos estar seguros que vamos bien.

Pasaremos a llenar nuestra tabla.

Primero Identificamos nuestras variables:

Para ello primero debemos convertir nuestras restricciones a ecuaciones:

X1 + 2X2  <= 6 

2X1 + X2 <=16

Tomaremos nuestras restricciones y las igualaremos a 0.

En el caso de tener <= se le agregara una variable de Holgura, en caso contrario(>=) se le agregara una variable superávil y este sera negativo. 

Primera Restricción: X1 + 2X2  <= 6 

En este caso la variable agregada sera S1 (variable de holgura) y quedaría de la siguiente manera:

X1 + 2X2 + S1 = 6

Segunda Restricción: 2X1 + X2 <=16

Una vez más nos encontramos en el caso de la variable de Holgura.

2X1 + X2 + S2 = 16

Por lo tanto tendriamos lo siguiente:

Maximizar Z = X1 + X2 + 0S1 + 0S2
X1 + 2X2 + S1 = 6
2X1 + X2 + S2 = 16

Ahora a Identificar las variables:
X1, X2, S1, S2

A continuacion pasaremos a comenzar a llenar la tabla:

(Cero) Variable no básica	Variables básicas	Solución básica	Punto de esquina asociado	Factible	Valores objetivos
( X1 , X2 )	( S1 , S2 )
( X1 , S1 )	( X2 , S2 )
( X1 , S2 )	( X2, S1 )
( X2 , S1 )	.( X1, S2 )
( X2 , S2 )	.( X1, S1 )
( S1 , S2 )	.( X1, X2 )

Pasaremos a obtener las soluciones básicas:

A.-.-Primer elemento de la tabla:

-Variable no básica: ( X1 , X2 )

-Variable básica: (S1, S2 )

X1 = 0

X2 = 0

-Reemplazando en las ecuaciones:

0 + 2(0) + S1 = 6 ----> S1 = 6 

2(0) + 0 + S2 = 16 ---->S2 = 16

B.-Segundo elemento de la tabla:

-Variable no básica: ( X1 , S1 )

-Variable básica: ( X2 , S2 )

X1 = 0

S1 = 0

-Reemplazando en las ecuaciones:

0 + 2X2 + 0 = 6 -----> X2 = 3

2(0) + 3 + S2 = 16 ----> S2 = 13

C.-Tercer elemento de la tabla:

-Variable no básica: ( X1 , S2 )

-Variable básica: ( X2, S1 )

X1 = 0

S2 = 0

-Reemplazando en las ecuaciones:

2(0) + X2 + 0= 16 -----> X2 = 16

0 + 2(16) + S1 = 6 ----> S1 = -26

D.-Cuarto elemento de la tabla:

-Variable no básica: ( X2 , S1 )

-Variable básica: ( X1, S2 )

X2 = 0

S1 = 0

-Reemplazando en las ecuaciones:

x1 + 2(0) + 0 = 6 ----> x1 = 6

2(6) + 0 + s2 = 16 -----> x2 = 4

E.-Quinto elemento de la tabla:

-Variable no básica: ( X2 , S2 )

-Variable básica: .( X1, S1 )

X2 = 0

S2 = 0

-Reemplazando en las ecuaciones:

2X1 + 0 + 0 = 16 ---> X1 = 8

8 + 2(0) + S1 = 6 ----> S1 = -2

F.-Sexto elemento de la tabla:

-Variable no básica: ( S1 , S2 )

-Variable básica: (X1, X2 )
S1 = 0

S2 = 0

Reemplazando en las ecuaciones:

X1 + 2X2 + 0 = 6 ( -2 )

2X1 + X2 + 0 = 16

-2X1 - 4X2 = -12

 2X1 + X2  =   16

         -3X2 = 4

           X2 = -1.33

2X1-1.33 = 16

2X1 = 17.33

X1 = 8.665

Pasaremos a seguir llenando la tabla:

(Cero) Variable no básica	Variables básicas	Solución básica	Punto de esquina asociado	Factible	Valores objetivos
( X1 , X2 )	( S1 , S2 )	( 6, 16 )
( X1 , S1 )	( X2 , S2 )	( 3, 13  )
( X1 , S2 )	( X2, S1 )	(  16, -26 )
( X2 , S1 )	.( X1, S2 )	( 6, 4 )
( X2 , S2 )	.( X1, S1 )	( 8, -2 )
( S1 , S2 )	.( X1, X2 )	( 8.67, -1.33 )

A continuación con la ayuda de TORA identificaremos el punto de esquina asociado:

Para esto usaremos nuestros datos iniciales:

Z = X1 + X2

X1 + 2X2  <= 6 

2X1 + X2 <=16

Le damos en Solve Menu y elegimos Graphical

 Una vez obtenida la gráfica podemos identificar los puntos

Del gráfico podemos decir que los puntos factibles son A, B y D.

Seguimos llenando la tabla y quedaría de la siguiente manera:

(Cero) Variable no básica	Variables básicas	Solución básica	Punto de esquina asociado	Factible	Valores objetivos
( X1 , X2 )	( S1 , S2 )	( 6, 16 )	A	Si
( X1 , S1 )	( X2 , S2 )	( 3, 13  )	B	Si
( X1 , S2 )	( X2, S1 )	(  16, -26 )	C	No
( X2 , S1 )	.( X1, S2 )	( 6, 4 )	D	Si
( X2 , S2 )	.( X1, S1 )	( 8, -2 )	E	No
( S1 , S2 )	.( X1, X2 )	( 16, -2 )	F	No

Por último calcularemos los valores objetivos solo de los que resultaron factibles:

Z = X1 + X2 + 0S1 + 0S2

( X1 , X2 )

( S1 , S2 )

( 6, 16 )

X1 = 0

X2 = 0

Z = 0 + 0 + 0 + 0

Z = 0

( X1 , S1 )

( X2 , S2 )

( 3, 13  )

X1 = 0

X2 = 3

Z = 0 + 3 + 0 + 0

Z = 3

( X2 , S1 )

.( X1, S2 )

( 6, 4 )

X1 = 6

X2 = 0

Z = 6 + 0 + 0 + 0

Z = 6 ----> Valor Máximo

Finalmente nuestra tabla quedara de la siguiente manera y sacaremos nuestra respuesta final:

(Cero) Variable no básica	Variables básicas	Solución básica	Punto de esquina asociado	Factible	Valores objetivos
( X1 , X2 )	( S1 , S2 )	( 6, 16 )	A	Si	0
( X1 , S1 )	( X2 , S2 )	( 3, 13  )	B	Si	3
( X1 , S2 )	( X2, S1 )	(  16, -26 )	C	No	------
( X2 , S1 )	.( X1, S2 )	( 6, 4 )	D	Si	6
( X2 , S2 )	.( X1, S1 )	( 8, -2 )	E	No	------
( S1 , S2 )	.( X1, X2 )	( 16, -2 )	F	No	------

Función Z maximizada:

Z = 6

X1 = 6

X2 = 0

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