Método Simplex(Modelo de P.L en forma de Ecuación)

Método Simplex(Modelo de P.L en forma de Ecuación)

Ejercicio 2:

Función Objetivo.-

Maximizar Z = -16x1 -15x2 - 0S1 -0S2 - 0S3 , Z = 0

Sujeto a:

            40X1 + 31X2 <= 124

            -X1 + X2 <= 1

             X1 <= 3

            X1 ; X2 >= 0

-Colocamos los coeficientes en la tabla:

Ya que maximizamos obtendremos, de la columna Z  el coeficiente más negativo que es el -16 y por lo tanto la fila X1 sera la columna de pivote y esta reemplazara a la fila pivote que saldrá.

-Encontrando la fila que va a salir:

Tomaremos el menor valor  obtenido en la columna de Relación. que es el 3; por lo tanto S3 sera la fila que salga y obtenemos el elemento pivote el cual seria 1.

-Cálculos nueva Fila

Punto pivote: S3

*Nueva fila pivote = Fila pivote actual / elemento pivote

0/1 = 0
1/1 = 1
0/1 = 0
0/1 = 0
0/1 = 0
1/1 = 1
3/1 = 3

Cálculos Z

*Coeficiente: -16

1    -   (-16 * 0 ) = 1

-16 -  (-16 * 1 ) = 0

-15 -  (-16 * 0 ) = -15

0    -  (-16 * 0 ) = 0

0    -  (-16 * 0 ) = 0

0    -  (-16 * 1 ) = 16

0    -  (-16 * 3 ) = 48

Cálculos S1

*Coeficiente: 40

0 - (40.0 * 0 ) = 0.0
40 - (40.0 * 1 ) = 0.0
31 - (40.0 * 0 ) = 31.0
1 - (40.0 * 0 ) = 1.0
0 - (40.0 * 0 ) = 0.0
0 - (40.0 * 1 ) = -40.0
124 - (40.0 * 3 ) = 4.0

Cálculos S2

*Coeficiente -1

0 - (-1.0 * 0 ) = 0.0
-1 - (-1.0 * 1 ) = 0.0
1 - (-1.0 * 0 ) = 1.0
0 - (-1.0 * 0 ) = 0.0
1 - (-1.0 * 0 ) = 1.0
0 - (-1.0 * 1 ) = 1.0
1 - (-1.0 * 3 ) = 4.0

-Nueva tabla con los valores obtenidos:

-Encontrando la fila que va a salir:

-Cálculos nueva Fila

Punto pivote : S1

*Nueva fila pivote = Fila pivote actual / elemento pivote

0.0/31.0 = 0.0

0.0/31.0 = 0.0

31.0/31.0 = 1.0

1.0/31.0 = 0.03

0.0/31.0 = 0.0

-40.0/31.0 = -1.29

4.0/31.0 = 0.13

Cálculos Z

*Coeficiente: -15

1.0 - (-15.0 * 0.0 ) = 1.0

0.0 - (-15.0 * 0.0 ) = 0.0

-15.0 - (-15.0 * 1.0 ) = 0.0

0.0 - (-15.0 * 0.032 ) = 0.48

0.0 - (-15.0 * 0.0 ) = 0.0

16.0 - (-15.0 * -1.29) = -3.35

48.0 - (-15.0 * 0.13 ) = 49.94

Cálculos S2

*Coeficiente 1

0 - (1 * 0 ) = 0
0 - (1 * 0 ) = 0
1 - (1 * 1 ) = 0
0 - (1 * 0.03 ) = -0.03
1 - (1 * 0 ) = 1
1 - (1 * -1.29 ) = 2.29
4 - (1 * 0.13 ) = 3.87

Cálculos X1

*Coeficiente: 0

0 - (0 * 0 ) = 0
1 - (0 * 0 ) = 1
0 - (0 * 1 ) = 0
0 - (0 * 0.03 ) = 0.0
0 - (0 * 0 ) = 0
1 - (0 * -1.29 ) = 1.0
3 - (0 * 0.13 ) = 3.0

-Nueva tabla con los valores obtenidos:

-Encontrando la fila que va a salir:

-Cálculos nueva Fila

Punto pivote : S3

*Nueva fila pivote = Fila pivote actual / elemento pivote

0/2.29 = 0.0

0/2.29 = 0.0

0/2.29 = 0.0

-0.03/2.29 = -0.01

1/2.29 = 0.44

2.29/2.29 = 1.0

3.87/2.29 = 1.69

Cálculos Z

*Coeficiente: -3.35

1 - (-3.35 * 0.0 ) = 1.0

0 - (-3.35 * 0.0 ) = 0.0

0 - (-3.35 * 0.0 ) = 0.0

0.48 - (-3.35 * -0.0131004366812 ) = 0.44

0 - (-3.35 * 0.436681222707 ) = 1.46

-3.35 - (-3.35 * 1.0 ) = 0.0

49.94 - (-3.35 * 1.68995633188) = 55.61

Cálculos X2

*Coeficiente: -1.29

0 - (-1.29 * 0.0 ) = 0.0

0 - (-1.29 * 0.0 ) = 0.0

1 - (-1.29 * 0.0 ) = 1.0

0.03 - (-1.29 * -0.01 ) = 0.01

0 - (-1.29 * 0.44 ) = 0.57

-1.29 - (-1.29 * 1.0 ) = 0.0

0.13 - (-1.29 * 1.69 ) = 2.31

Cálculos X1

*Coeficiente: 1

0 - (1 * 0.0 ) = 0.0

1 - (1 * 0.0 ) = 1.0

0 - (1 * 0.0 ) = 0.0

0 - (1 * -0.01 ) = 0.01

0 - (1 * 0.44 ) = -0.44

1 - (1 * 1.0 ) = 0.0

3 - (1 * 1.69 ) = 1.31

-Cuadro Resultante:

Respuesta:

Z =3948/71 = 55.61
X2 = 164/71 = 2.31
X1 =93/71 = 1.31
S3 = 120/71 = 1.69

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Modelo de P.L en Forma de Ecuación

Modelo de P.L en Forma de Ecuación 

Método Simplex

Ejercicio 1:

Función Objetivo.-

Minimizar Z =  5X1 - 4X2 + 6X3 - 8X4  + 0S1  + 0S2  + 0S3 , Z = 0

Sujeto a:

          X1 + 2X2 + 2X3 +  4X4 +  S1 <= 40

         2X1 - X2 + X3 + 2X4 + S2  <= 8

         4X1 - 2X2 + X3 - X4 + S3 <= 10

             X1 , X2 , X3 , X4  >= 0

-Colocamos los coeficientes en la tabla:

-Encontrando la fila que va a salir:

-Cálculos nueva Fila
Punto pivote: X4
*Nueva fila pivote = Fila pivote actual / elemento pivote
0.0/2 = 0.0
2.0/2 = 1.0
-1.0/2 = -1/2 =-0.5
1.0/2 =1/2 = 0.5
2.0/2 = 1.0
0.0/2 = 0.0
1.0/2 = 1/2 = 0.5
0.0/2 = 0.0
8.0/2 = 4.0

Cálculos Z
*Coeficiente: 8
1 - (8 * 0.0 ) = 1.0
-5 - (8 * 1.0 ) = -13.0
4 - (8 * -0.5 ) = 8.0
-6 - (8 * 0.5 ) = -10.0
8 - (8 * 1.0 ) = 0.0
0 - (8 * 0.0 ) = 0.0
0 - (8 * 0.5 ) = -4.0
0 - (8 * 0.0 ) = 0.0
0 - (8 * 4.0 ) = -32.0

Cálculos S1
*Coeficiente: 4
0 - (4 * 0.0 ) = 0.0
1 - (4 * 1.0 ) = -3.0
2 - (4 * -0.5 ) = 4.0
2 - (4 * 0.5 ) = 0.0
4 - (4 * 1.0 ) = 0.0
1 - (4 * 0.0 ) = 1.0
0 - (4 * 0.5 ) = -2.0
0 - (4 * 0.0 ) = 0.0
40 - (4 * 4.0 ) = 24.0

Cálculos S3
*Coeficiente -1
0 - (-1 * 0.0 ) = 0.0
4 - (-1 * 1.0 ) = 5.0
-2 - (-1 * -0.5 ) =-5/2 = -2.5
1 - (-1 * 0.5 ) = 3/2 =1.5
-1 - (-1 * 1.0 ) = 0.0
0 - (-1 * 0.0 ) = 0.0
0 - (-1 * 0.5 ) = 1/2 = 0.5
1 - (-1 * 0.0 ) = 1.0
10 - (-1 * 4.0 ) = 14.0

-Nueva tabla con los valores obtenidos:

-Encontrando la fila que va a salir:

-Cálculos nueva Fila
Punto pivote : X2
*Nueva fila pivote = Fila pivote actual / elemento pivote
0.0/4 = 0.0
-3.0/4 = -3/4
4.0/4 = 1.0
0.0/4 = 0.0
0.0/4 = 0.0
1.0/4 = 1/4
-2.0/4 = -1/2
0.0/4 = 0.0
24.0/4 = 6.0

Cálculos Z
*Coeficiente: 8

1 - (8 * 0.0 ) = 1.0

-13 - (8 * - 3/4 ) = -7.0

8 - (8 * 1.0 ) = 0.0

-10 - (8 * 0.0 ) = -10.0

0 - (8 * 0.0 ) = 0.0

0 - (8 * 1/4) = -2.0

-4 - (8 * -1/2) = 0.0

0 - (8 * 0.0 ) = 0.0

-32 - (8 * 6.0 ) = -80.0

Cálculos X4
*Coeficiente: -1/2 

0 - (-1/2 * 0.0 ) = 0.0

1 - (-1/2 * -3/4 ) = 5/8

-1/2 - (-1/2 * 1.0 ) = 0.0

1/2 - (-1/2 * 0.0 ) = 1/2

1 - (-1/2 * 0.0 ) = 1.0

0 - (-1/2 * 0.25 ) = 1/8

1/2 - (-1/2 * -1/2 ) = 1/4

0 - (-1/2 * 0.0 ) = 0.0

4 - (-1/2 * 6.0 ) = 7.0

Cálculos S3
*Coeficiente -5/2
 0 - (-5/2 * 0.0 ) = 0.0

5 - (-5/2 * -3/4 ) = 25/8

-5/2 - (-5/2 * 1.0 ) = 0.0

3/2 - (-5/2 * 0.0 ) = 3/2

0 - (-5/2 * 0.0 ) = 0.0

0 - (-5/2 * 1/4) = 5/8

1/2 - (-5/2 * -1/2 ) = -3/4

1 - (-5/2 * 0.0 ) = 1.0

14 - (-5/2 * 6.0 ) = 29.0

-Cuadro Resultante:

Respuesta:
Z = -80
X2 = 6
X4 = 7
S3 = 29

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SOLUCIÓN (MODELO DE P.L EN FORMA DE ECUACIÓN)

Ejercicio:

Función objetivo:

Maximizar Z = X1 + X2

Sujeto a:

      X1 + 2X2 <= 6r5

     2X1 + X2 <= 16
      X1 ; X2 >= 0

Solución:

A continuación utilizando combinaciones podremos obtener el número de elementos que pondremos en nuestra tabla y así asegurarnos de que vamos por buen camino.

Cm;n = m! / n! (m-n)!

Donde: m = número de variables , n =número de 

restricciones.

          C4;2 = 4! / 2! (2!)

          C4;2 = 6

Una vez hallado podremos estar seguros que vamos bien.

Pasaremos a llenar nuestra tabla.

Primero Identificamos nuestras variables:

Para ello primero debemos convertir nuestras restricciones a ecuaciones:

X1 + 2X2  <= 6 

2X1 + X2 <=16

Tomaremos nuestras restricciones y las igualaremos a 0.

En el caso de tener <= se le agregara una variable de Holgura, en caso contrario(>=) se le agregara una variable superávil y este sera negativo. 

Primera Restricción: X1 + 2X2  <= 6 

En este caso la variable agregada sera S1 (variable de holgura) y quedaría de la siguiente manera:

X1 + 2X2 + S1 = 6

Segunda Restricción: 2X1 + X2 <=16

Una vez más nos encontramos en el caso de la variable de Holgura.

2X1 + X2 + S2 = 16

Por lo tanto tendriamos lo siguiente:

Maximizar Z = X1 + X2 + 0S1 + 0S2
X1 + 2X2 + S1 = 6
2X1 + X2 + S2 = 16

Ahora a Identificar las variables:
X1, X2, S1, S2

A continuacion pasaremos a comenzar a llenar la tabla:

(Cero) Variable no básica	Variables básicas	Solución básica	Punto de esquina asociado	Factible	Valores objetivos
( X1 , X2 )	( S1 , S2 )
( X1 , S1 )	( X2 , S2 )
( X1 , S2 )	( X2, S1 )
( X2 , S1 )	.( X1, S2 )
( X2 , S2 )	.( X1, S1 )
( S1 , S2 )	.( X1, X2 )

Pasaremos a obtener las soluciones básicas:

A.-.-Primer elemento de la tabla:

-Variable no básica: ( X1 , X2 )

-Variable básica: (S1, S2 )

X1 = 0

X2 = 0

-Reemplazando en las ecuaciones:

0 + 2(0) + S1 = 6 ----> S1 = 6 

2(0) + 0 + S2 = 16 ---->S2 = 16

B.-Segundo elemento de la tabla:

-Variable no básica: ( X1 , S1 )

-Variable básica: ( X2 , S2 )

X1 = 0

S1 = 0

-Reemplazando en las ecuaciones:

0 + 2X2 + 0 = 6 -----> X2 = 3

2(0) + 3 + S2 = 16 ----> S2 = 13

C.-Tercer elemento de la tabla:

-Variable no básica: ( X1 , S2 )

-Variable básica: ( X2, S1 )

X1 = 0

S2 = 0

-Reemplazando en las ecuaciones:

2(0) + X2 + 0= 16 -----> X2 = 16

0 + 2(16) + S1 = 6 ----> S1 = -26

D.-Cuarto elemento de la tabla:

-Variable no básica: ( X2 , S1 )

-Variable básica: ( X1, S2 )

X2 = 0

S1 = 0

-Reemplazando en las ecuaciones:

x1 + 2(0) + 0 = 6 ----> x1 = 6

2(6) + 0 + s2 = 16 -----> x2 = 4

E.-Quinto elemento de la tabla:

-Variable no básica: ( X2 , S2 )

-Variable básica: .( X1, S1 )

X2 = 0

S2 = 0

-Reemplazando en las ecuaciones:

2X1 + 0 + 0 = 16 ---> X1 = 8

8 + 2(0) + S1 = 6 ----> S1 = -2

F.-Sexto elemento de la tabla:

-Variable no básica: ( S1 , S2 )

-Variable básica: (X1, X2 )
S1 = 0

S2 = 0

Reemplazando en las ecuaciones:

X1 + 2X2 + 0 = 6 ( -2 )

2X1 + X2 + 0 = 16

-2X1 - 4X2 = -12

 2X1 + X2  =   16

         -3X2 = 4

           X2 = -1.33

2X1-1.33 = 16

2X1 = 17.33

X1 = 8.665

Pasaremos a seguir llenando la tabla:

(Cero) Variable no básica	Variables básicas	Solución básica	Punto de esquina asociado	Factible	Valores objetivos
( X1 , X2 )	( S1 , S2 )	( 6, 16 )
( X1 , S1 )	( X2 , S2 )	( 3, 13  )
( X1 , S2 )	( X2, S1 )	(  16, -26 )
( X2 , S1 )	.( X1, S2 )	( 6, 4 )
( X2 , S2 )	.( X1, S1 )	( 8, -2 )
( S1 , S2 )	.( X1, X2 )	( 8.67, -1.33 )

A continuación con la ayuda de TORA identificaremos el punto de esquina asociado:

Para esto usaremos nuestros datos iniciales:

Z = X1 + X2

X1 + 2X2  <= 6 

2X1 + X2 <=16

Le damos en Solve Menu y elegimos Graphical

 Una vez obtenida la gráfica podemos identificar los puntos

Del gráfico podemos decir que los puntos factibles son A, B y D.

Seguimos llenando la tabla y quedaría de la siguiente manera:

(Cero) Variable no básica	Variables básicas	Solución básica	Punto de esquina asociado	Factible	Valores objetivos
( X1 , X2 )	( S1 , S2 )	( 6, 16 )	A	Si
( X1 , S1 )	( X2 , S2 )	( 3, 13  )	B	Si
( X1 , S2 )	( X2, S1 )	(  16, -26 )	C	No
( X2 , S1 )	.( X1, S2 )	( 6, 4 )	D	Si
( X2 , S2 )	.( X1, S1 )	( 8, -2 )	E	No
( S1 , S2 )	.( X1, X2 )	( 16, -2 )	F	No

Por último calcularemos los valores objetivos solo de los que resultaron factibles:

Z = X1 + X2 + 0S1 + 0S2

( X1 , X2 )

( S1 , S2 )

( 6, 16 )

X1 = 0

X2 = 0

Z = 0 + 0 + 0 + 0

Z = 0

( X1 , S1 )

( X2 , S2 )

( 3, 13  )

X1 = 0

X2 = 3

Z = 0 + 3 + 0 + 0

Z = 3

( X2 , S1 )

.( X1, S2 )

( 6, 4 )

X1 = 6

X2 = 0

Z = 6 + 0 + 0 + 0

Z = 6 ----> Valor Máximo

Finalmente nuestra tabla quedara de la siguiente manera y sacaremos nuestra respuesta final:

(Cero) Variable no básica	Variables básicas	Solución básica	Punto de esquina asociado	Factible	Valores objetivos
( X1 , X2 )	( S1 , S2 )	( 6, 16 )	A	Si	0
( X1 , S1 )	( X2 , S2 )	( 3, 13  )	B	Si	3
( X1 , S2 )	( X2, S1 )	(  16, -26 )	C	No	------
( X2 , S1 )	.( X1, S2 )	( 6, 4 )	D	Si	6
( X2 , S2 )	.( X1, S1 )	( 8, -2 )	E	No	------
( S1 , S2 )	.( X1, X2 )	( 16, -2 )	F	No	------

Función Z maximizada:

Z = 6

X1 = 6

X2 = 0

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